Question

(本小题满分12分)

已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．

（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）设,为数列的前项和．是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）。

【解析】

试题分析：（1）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列， 则有,即矛盾．

所以｛｝不是等比数列．

(2)【解析】
因为

又，所以

当，，此时

当时，， ，

此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列．

∴

(3)要使对任意正整数成立，

即

得（1）  

令，则当为正奇数时，

∴的最大值为, 的最小值为,

于是，由（1）式得

当时，由，不存在实数满足题目要求

当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是。

考点：本题考查等比数列的简单性质。