Question

（本小题满分12分）

如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为A₁D₁、A₁B₁、BC的中点，

（1）求证：GC₁//面AEF

（2）求：直线GC₁到面AEF的距离。

Answer

（1）见解析  （2） a

【解析】

试题分析：证明：作B1C1中点H，连结EH，BH

∵正方体ABCD-A1B1C1D1，且E、G、H分别为棱A1D1、BC、B1C1的中点

∴EHAB，BGHC1                                   1分

∴四边形ABHE和四边形BGC1H是平行四边形

∴GC1//BH,BH//AE                                3分

∴GC1//AE                                           4分

又∵GC1面AEF，AE面AEF

∴GC1//面AEF                                        6分

（2）（6分）

【解析】
∵GC1//面AEF

∴GC1到面AEF的距离等于点C1到面AEF的距离。         1分

∵                                 2分

可求得，AE=AF=，EF=，C1E=C1F=

∴                                       4分

∴点C1到面AEF的距离等于点A到面C1EF的距离          5分

∵AA1⊥面A1C1

∴直线GC1到面AEF的距离等于a.                           6分

考点：线面平行的判定，点面距的求法