Question

（本小题满分14分）

如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

（1）求证：P-ABC为正四面体；

（2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

（3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

Answer

（1）见解析  （2）M点 满足AM=    

（3）构造棱长均为,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体

【解析】

试题分析： 

（1）【解析】
∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等

   ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.                 2分

   又∵截面DEF∥底面ABC,

∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°

∴P-ABC是正四面体.                  4分

（2）（5分）

作PO⊥面ABC于O，MN⊥面ABC于N，

∵A、M、P三点共线       ∴A、N、O三点共线，延长AO交BC于G

∴∠MBN=45°，MN//PO

∵P-ABC为棱长为1的正四面体

∴ AO=，PO=             6分    

设MN=x，则BN=x，且

∴AM=，AN=

∵AG是等边△ABC的中线              ∴∠BAN=30°

∴BN2=AN2+AB2-2ABANcos30°                            8分

解得x=

∴AM=                                   9分

（3）（5分）

存在满足条件的平行六面体.                                 10分

棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,则平行六面体的棱长均为,      11分

设该六面体一条侧棱长为A1B1，与底面两条棱A1C1和A1D1的夹角为60°，设底面四边形的锐角为2α, 作B1E1⊥底面A1C1D1于E1，E1F1⊥A1C1

∵∠B1A1C1=∠B1A1D1

∴∠C1A1E1=α 

则A1F1=，A1E1=，zxxk

B1E1=

则V=

解得 或   

∴2α=90°或60°                    13分

故构造棱长均为,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体即满足要求.  14分

考点：棱柱 棱台的性质，直线与平面所成角，解三角形，柱体体积公式