Question

（本小题满分14分）（理科）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，且,,

求证：为定值，并计算出该定值.

Answer

(1)  (2)定值为0，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）由条件得，解得，所以方程为.           ……6分

（2）易知直线斜率存在，令，,

由得：，，          

，                                              ……8分

由得：，即     ①

由得：，即②    ……11分

由①得，由②得，

∴，

将代入有.                 ……14分

考点：本小题主要考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题和平面向量知识，考查学生的运算求解能力和数形结合思想.