Question

(本小题13分)曲线上任意一点M满足, 其中F(-F( 抛物线的焦点是直线y＝x－1与x轴的交点, 顶点为原点O.

（1）求，的标准方程；

（2）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同

两点，，且满足？若存在，求出直线的方程；若不

存在，说明理由．

Answer

 (1) 的方程为：， 的方程为：。

（2）存在直线满足条件，且的方程为或．

【解析】

试题分析：（1）由题意结合椭圆的定义和抛物线的焦点坐标，得到关系式。

（2）假设存在这样的直线，设其方程为，联立方程组，结合韦达定理和向量数量积得到。

【解析】
(1) 的方程为：， 的方程为：。

（2）假设存在这样的直线，设其方程为，两交点坐标为，

由消去，得，

     ①

，②

，③

将①②代入③得，解得

所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为或．

考点：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的运用，以及图像的变换，以及向量的数量积来表示垂直关系的运用。