Question

(本小题13分) 已知数列{a}满足0<a, 且 (nN*).

(1) 求证：a_n＋1≠a_n；

(2) 令a₁＝，求出a₂、a₃、a₄、a₅的值，归纳出a_n , 并用数学归纳法证明.

Answer

见解析。

【解析】

试题分析：（1）采用反证法，若存在正整数n使an＋1＝an，即推出矛盾。

（2）运用归纳猜想的思想得到其通项公式即可。再加以证明其正确性。

【解析】
(1) 证明：(采用反证法)．若存在正整数n使an＋1＝an，即, 解得an＝0, 1.

若an＝0, 则 an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0, 与题设a1＞0;

若an＝1, 则an＝an－1＝…＝a2＝a1＝1, 与题设a1≠1相矛盾. 

综上所述, an＋1≠an成立．

(2) a1＝、a2＝、a3＝、a4＝、a5＝，猜想: an＝，n∈N*.

下面用数学归纳法证明:

①n＝1时, 不难验证公式成立;

②假设n＝k(k∈N*)时公式成立, 即ak＝

则n＝k＋1时， a k＋1＝＝

故此时公式也成立

综合① ②据数学归纳法知公式成立.

考点：本题主要考查了数列的递推关系式的运用，以及数学归纳法证明命题的运用。