Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，

E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC.设AE =，G是BC的中点．

沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．

（1）当=2时，求证：BD⊥EG ；

（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

（3）当取得最大值时，求二面角D-BF-E的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）时有最大值为．（3）cos<>=。

【解析】

试题分析：（1）∵平面平面，

        AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，

据此建立建立空间坐标系E-xyz．然后利用,证得.

(2) ∵AD∥面BFC，利用 建立关于x的一元二次函数，求出其最大值.

(3)在（2）的条件下，分别求出二面角D-BF-E两个面的法向量，根据法向量的夹角与二面角相等或互补求解.

（1）方法一：

∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．

，又为BC的中点，BC=4，

．则A（0，0，2），B（2，0，0），

G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，

∴．……4分

方法二：

作DH⊥EF于H，连BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

为平行四边形，且，四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，

故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分

（或者直接利用三垂线定理得出结果）

（2）∵AD∥面BFC，所以 =VA-BFC＝

，即时有最大值为． ………8分

（3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2， B（2，0，0），

D（0，2，2），F（0，3，0），∴………9分

（－2，2，2），

则 ，即，

取，∴

，面BCF一个法向量为，

则cos<>=，………14分.

考点：空间向量法在证明与求角当中的应用.