Question

（12分）已知抛物线：过点.（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的

距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer

（1）. （2）符合题意的直线存在，其方程为.

【解析】

试题分析：（1）将点（1，-2）代入抛物线方程可求出p值，从而得到抛物线的方程，进而得到其准线方程.

(2) 假设存在符合题意的直线，其方程为,由于直线l与抛物线C有公共点，所以它与抛物线方程联立消去x后得到关于y的一元二次方程的判断式,从而解得.

然后再利用平行线间的距离公式得到t的方程求出t值，看是否满足t的范围，从而确定是否存在这样的直线.

（1）将代入，得，故所求的抛物线的标准方程为.

其准线方程为.  ………  4分

（2）假设存在符合题意的直线，其方程为.由，得.

因为直线与抛物线有公共点，所以，解得.另一方面，由直线与的距

可得，解得.又因为，，所以符合题意的直线存在，其方程为

.…12分

考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，平行线间的距离公式.