Question

（12分）已知函数，是的一个极值点．

（1）求的单调递增区间；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）函数的单调递增区间为，. （Ⅱ）. 

【解析】

试题分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是f（x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间；

（II）先利用导数求出函数f（x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使f(x)-a2＞

恒成立，只需f(x) min＞a2+，即可求出a的范围．

【解析】
（Ⅰ）.     ∵是的一个极值点，

∴是方程的一个根，解得.  

令，则，解得或.

∴函数的单调递增区间为，.

（Ⅱ）∵当时，时，

∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.  

∴是在区间[1，3]上的最小值，且 . 

若当时，要使恒成立，只需，

即，解得 . 

考点：本题主要考查了函数的极值，单调性和在闭区间上的最值，同时考查了恒成立问题，属于中档题