Question

（本小题满分13分）如图所示，直线l与抛物线y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴交于点M，且y₁y₂＝－1，

（Ⅰ）求证：点的坐标为；

（Ⅱ）求证：OA⊥OB；

（Ⅲ）求△AOB面积的最小值。

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设M（x0，0），直线l方程为x=my+x0代入y2=x得

y2-my-x0=0，y1。y2是此方程的两根

∴ x0＝－y1y2＝1 ①   即M点坐标是（1，0）  （4分）

证明：（Ⅱ）∵ y1y2＝－1 ∴  x1x2+y1y2=y1y2（y1y2+1）=0，

∴  OA⊥OB   （8分）

（Ⅲ）由方程①得y1＋y2＝m，y1y2＝－1，又|OM|＝x0＝1，

 ，

 ∴  当m=0时，S△AOB取最小值1。   （13分）

考点：直线与抛物线位置关系