Question

（本小题满分13分）

如图,在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中, , , , ,点是的中点.

(Ⅰ) 求证:∥平面；

(Ⅱ)求AC₁与平面CC₁B₁B所成的角．

Answer

 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ) AC1与平面CC1B1B所成的角为60O。

【解析】

试题分析：（1）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，根据D是AB的中点，E是BC1的中点，可知DE∥AC1，而DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，根据线面平行的判定定理可知AC1∥平面CDB1；（2）结合三棱柱的性质可知∠AC1C为AC1与平面CC1B1B所成的角。

证明:   (Ⅰ) 令BC1与CB1的交点为E, 连结DE.

∵  D是AB的中点, E为BC1的中点, ∴DE∥AC1

∵ AC1平面CDB1, DE平面CDB1,

∴AC1∥平面CDB1.   ………………6分

(Ⅱ) ∵ 三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,

    ∴  C1C⊥平面ABC, ∴C1C⊥AC,

    ∵  AC=3, BC=4, AB=5,

∴ ,   ∴ ,

∴ AC⊥平面CC1B1B,

∴  ∠AC1C为AC1与平面CC1B1B所成的角

∵，

根据平面几何知识得：∠AC1C=60O

∴AC1与平面CC1B1B所成的角为60O………13分

考点：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定，同时考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题。