Question

（本小题满分13分）

已知直线，圆.

(Ⅰ)证明：对任意，直线恒过一定点N，且直线与圆C恒有两个公共点；

(Ⅱ)设以CN为直径的圆为圆D（D为CN中点），求证圆D的方程为：

（Ⅲ）设直线与圆的交于A、B两点，与圆D:交于点（异于C、N），当变化时，求证为AB的中点.

Answer

(Ⅰ)∵N在圆C内，∴直线与圆C恒有两个公共点.

(Ⅱ)轨迹的方程为.

【解析】

试题分析：（1）利用圆心到直线的距离小于半径，判定，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；

（2）求解CN的中点坐标和CN的长度的一半得到圆心和半径进而求解圆的方程。

（3）利用圆的方程以及交点问题得到求证。

(Ⅰ)方法1：联立方程组

消去，得

∴直线与圆恒有两个公共点………………………………………………6分

方法2：将圆化成标准方程为

由可得：.

解得，所以直线过定点N(1,-1)

∵N在圆C内，∴直线与圆C恒有两个公共点.…………………………6分

(Ⅱ)设CN的中点为D，由于°，

∴

∴M点的轨迹为以CN为直径的圆.

CN中点D的坐标为(,0)，.

∴轨迹的方程为.……………………13分

考点：本题主要考查了直线与圆的位置关系的运用。