Question

本小题满分13分）

已知圆，△ABC内接于此圆，A点的坐标(3,4)，O为坐标原点．

(Ⅰ)若△ABC的重心是G(,2),求BC中点D的坐标及直线BC的方程；

 (Ⅱ)若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值.

Answer

 (Ⅰ) x+y-2=0．  (Ⅱ)。

【解析】

试题分析：（1）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来，根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．

（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，则他们的斜率互为相反数，又由他们都经过A点，则可以设出他们的点斜式方程，代入圆方程后，求出BC两点的坐标，代入斜率公式，即可求证出正确的结论。

【解析】
(Ⅰ)设B(x1,y1),C(x2,y2)  由题意可得：

,   ∴ BC中点的坐标为（1,1）,

又B、C在已知圆上 ，故有：

相减得：

∴

∴直线BC的方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0．  …………………………6分

 (Ⅱ)设AB：y=k(x-3)+4，代入圆的方程整理得：

∵3，x1是上述方程的两根

同理可得：

．        ……………13

考点：本题主要考查了三角新重心坐标的求解，以及直线方程的求解的运用。