Question

(本小题满分14分)如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.

（1）求圆的方程;

（2）当时，求直线的方程.

（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.

Answer

（1）（2）或（3）是定值，为，理由见解析

【解析】

试题分析：(1)设圆的半径为.

因为圆与直线相切,

.

所以圆的方程为.                                  ……4分

（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；                         ……5分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

.

由，得.

直线的方程为.

所求直线的方程为或.                               ……9分

（3）.

=.

当直线与轴垂直时，得，则又,

.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由解得.

.

.

综上所述，是定值，且.                                ……14分

考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系、弦长公式的应用以及平面向量的运算，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力以及思维的严密性.