Question

已知圆，椭圆，若的离心率为，如果相交于两点，且线段恰为圆的直径，求直线与椭圆的方程。

Answer

直线方程为,椭圆方程为:

【解析】

试题分析：由，得,

于是椭圆的方程可化为，

因为线段恰为圆的直径，所以过圆心，且圆心为的中点，

所以可设直线的方程为，

由得：        ①

设，则，即，得，

因此直线的方程为：，即.

此时，①式即为，

那么，解得，

所以椭圆方程为

故所求的直线方程为,椭圆方程为:.

考点：本小题主要考查由圆的标准方程、椭圆的标准方程和性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算求解能力和推理论证能力.