Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点为的中点，为中点.

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值；

（3）求点到平面的距离．

Answer

（1）证明：见解析； （2）； （3） 。

【解析】

试题分析：(I)根据面面垂直的判定定理，证明：ＰＤ⊥平面ＡＢＭ即可.

（II）本小题易建立直角坐标系，然后利用向量法求解，设平面ABM的法向量,

则求解即可.

(III) 设所求距离为h，利用求距离即可.

（1）证明： 因为  ，为中点 ，  所以  AＭ⊥ＰＤ.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，

所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.                         ------------   4 分

 （向量法也可）

 （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，

设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.

设所求角为，则，         ------------ 8 分

 （3）设所求距离为，由，

得：                  ----------------------  12分

考点：线面垂直，面面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，点O到平面的距离.