Question

(12分) 如图，设P是圆x²＋y²＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD＝PD.

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

Answer

(1) ＋＝1.(2)AB＝.

【解析】

试题分析：设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，然后利用MD＝PD,把P点坐标用M点的坐标表示出来，代入圆的方程即可得到动点M的轨迹方程.

(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

由已知得 ∵P在圆上，

∴x2＋(y)2＝25，

即轨迹C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝ (x－3)，

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝ (x－3)代入C的方程，

得＋＝1，即x2－3x－8＝0.

∴x1＝，x2＝.

∴线段AB的长度为

AB＝

＝

＝＝.

考点：求轨迹方程，圆和椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，两曲线的交点.