Question

(12分)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点.

（Ⅰ）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（Ⅱ）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

Answer

（1）见解析

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题.

【解析】

试题分析：(I)直线方程与抛物线方程联立，消去x后利用韦达定理判断=x1x2+y1y2=的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题.

(II)根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.

证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).

当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于

A(3,)、B(3,－)，∴=3.

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=y12, x2=y22, 

 ∴=x1x2+y1y2==3. 综上所述, 命题“......”是真命题.

解法二：设直线l的方程为my=x－3与y2=2x 联立得到y2-2my-6=0    =x1x2+y1y2

=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9＝3

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题.   例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,

直线AB的方程为y= (x+1),而T(3,0)不在直线AB上.

考点：四种命题之间的关系，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积.