Question

（本小题满分14分）在数列中，是数列前项和，，当

 （I）求证：数列是等差数列；

 （II）设求数列的前项和；

（III）是否存在自然数，使得对任意自然数，都有成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）见解析（II）（III）存在，的最大值为，理由见解析

【解析】

试题分析：（I）由已知得，当时，，

所以，又因为，

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.                                  ……4分

（II ）由（I）知，，

所以.                                                                

所以，                            ……6分

所以

.            ……8分

（III）令，显然在上是增函数，

所以当时，取得最小值，

依题意可知，要使得对任意，都有，

只要，即，所以，

因为所以的最大值为.                                                   ……14分

考点：本小题主要考查等差数列的证明，裂项法求和、数列与不等式的综合应用问题，考查学生综合分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力和运算求解能力.