Question

（本小题满分14分）已知数列满足，（）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足（），证明：数列是等差数列；

（Ⅲ）证明：（）.

Answer

（Ⅰ） . （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析。

【解析】

试题分析：（1）构造等比数列的思想得到数列的通项公式的求解。

（2）在第一问的基础上表述出bn的关系式，利用整体的思想得到证明。

（3）结合数列的放缩的思想，对于通项公式放缩得到求和的放缩结论。

【解析】
（Ⅰ）因为，所以.                （2分）

所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列.                  （3分）

所以，.                                     （4分）

（Ⅱ）因为，所以.    （5分）

即   ①                              （6分）

所以   ②              （7分）

②-①得：，即   ③     （8分）

所以   ④                                   （9分）

④-③得，即.                   （10分）

所以数列{bn}是等差数列.

（Ⅲ）因为，                       （12分）

设，

则                 （13分）

所以.                                （14分）

考点：本试题主要考查了数列的通项公式和前n项和的求解以及不等式的证明综合运用。