Question

若R上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实数根之和为（    ）

A. 4020      B.4022    C.4024    D.4026

Answer

B

【解析】

试题分析：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）,∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，,又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，,∵f（x）=f（0）+,∴f（x）=,∵0＜x≤1时，f（x）=log2x≤0，∴f（x）=在（0，1）内没有一实根，在（-1，0）内有一实数根x1,又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（x）=在（2，3）有一个实根x2，且x1+x2=2；

∵f（x）的周期为4，当2010＜x＜2012时，函数的图象与2＜x＜4的图象一样,∴原方程在区间（2010，2012）内的实根有2个，设为a，b，则=2011∴a+b=4022,故选B

考点：本题主要考查根的存在性及根的个数判断及奇偶函数图象的对称性，关键在于判断f（x）的周期为4，再结合0＜x≤1时，f（x）=log2x与奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，数形结合予以解决，属于中档题.