Question

（本题满分12分）已知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交随圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q.

Answer

（Ⅰ）=1. （Ⅱ）直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)。

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为得到a,c的比值，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。那么利用线与圆相切，利用点到直线的距离公式得到圆的半径。求解得到结论。

（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)．与椭圆方程联立，然后结合韦达定理，得到k的表达式，进而得到交点定点的坐标。

【解析】
（Ⅰ）由题意知e==，所以e2===．即a2=b2．

又因为b==，所以a2=4，b2=3．故椭圆的方程为=1.…4分

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)．

由,得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0．  ①…6分

设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,-y1)．直线AE的方程为y-y2=(x-x2)．令y=0，得x=x2-．将y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)代入，

整理，得x=．  ②…8分

由①得x1+x2=，x1x2=…10分   代入②整理，得x=1．

所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)．……12分

考点：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的运用。