Question

（本小题满分12分）设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.

（Ⅰ）求此双曲线的渐近线的方程；

（Ⅱ）若、分别为上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

Answer

（Ⅰ），渐近线方程为；（Ⅱ）

则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用离心率为2，结合c2=a2+3，可求a，c的值，从而可求双曲线方程，即可求得渐近线方程；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F1F2|，建立方程，根据A、B分别为l1、l2上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．

【解析】
（Ⅰ）

，渐近线方程为

（Ⅱ）设，AB的中点

则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。

考点：本试题主要考查了轨迹方程的求解，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题。