Question

（本小题满分12分）

设函数f (x)＝，其中a∈R．

（1）若a＝1，f (x)的定义域为［0，3］，求f (x)的最大值和最小值．

（2）若函数f (x)的定义域为区间（0，＋∞），求a的取值范围使f (x)在定义域内是单调减函数．

Answer

（1）f (x)max=，f (x)min＝－1；（2）a＜－1。

【解析】

试题分析：f (x)＝＝＝a－，

设x1，x2∈R，则f (x1)－f (x2)＝＝．        ……2分

（1）当a＝1时，设0≤x1＜x2≤3，则f (x1)－f (x2)＝．

又x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以f (x1)－f (x2)＜0，

∴f (x1)＜f (x2)，                                   ……4分

所以f (x)在［0，3］上是增函数，所以f (x)max＝f (3)＝1－＝；

f (x)min＝f (0)＝1－＝－1．                        ……7分

（2）设x1＞x2＞0，则x1－x2＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0

要f (x)在（0，＋∞）上是减函数，只要f (x1)－f (x2)＜0

而f (x1)－f (x2)＝，所以当a＋1＜0即a＜－1时，有f (x1)－f (x2)＜0，所以f (x1)＜f (x2)，

所以当a＜－1时，f (x)在定义域（0，＋∞）上是单调减函数．       ……12分

考点：本题考查函数的性质：单调性；定义域；最值。