Question

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已

知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)

项目类别	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价	每年最多可生产的件数
A产品	10	m	5	100
B产品	20	4	9	60

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[3,4]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x²万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；

(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．

Answer

（1）y1=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N，y2=-0.05x2+5x-20，0＜x≤60且x∈N；

（2）当3≤m＜3.85投资A产品200件可获得最大利润；当3.85＜m≤4投资B产品100件可获得最大利润；m=3.85生产A产品与B产品均可获得最大年利润。

【解析】

试题分析：（1）y1=5x-（10+mx）=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N

y2=9x-（4x+20）-0.05x2=-0.05x2+5x-20，0＜x≤60且x∈N

（2）∵3≤m≤4∴5-m＞0∴y1=（5-m）x-10为增函数

又0≤x≤100，x∈N∴x=100时，生产A产品有最大利润（5-m）×100-10=490-100m（万美元）

y2=-0.05x2+5x-20=-0.05（x-50）2+105,0≤x≤60，x∈N

∴x=50时，生产B产品有最大利润105（万美元）（y1）max-（y2）max=490-100m -105=385-100 m                           

当3≤m＜3.85时，（y1）max-（y2）max＞0

当m=3.85时，（y1）max-（y2）max=0

当3.85＜m≤4时，（y1）max-（y2）max＜0

∴当3≤m＜3.85投资A产品200件可获得最大利润

当3.85＜m≤4投资B产品100件可获得最大利润

m=3.85生产A产品与B产品均可获得最大年利润

考点：本题考查函数最值的应用。