Question

（本题满分14分）设为非负实数，函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）讨论函数的零点个数．

Answer

（Ⅰ） 的单调递增区间是和，单调递减区间是．

（Ⅱ）当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点；

当时，函数有三个零点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，然后对于分段函数各段的情况分别说明单调性，整体来合并得到结论。

（2）当时，，

故当时，，二次函数对称轴，那么结合二次函数的 性质可知顶点的函数值为正数，负数，还是零，来确定零点的问题。

【解析】
（Ⅰ）当时，，

① 当时，，∴在上单调递增；

② 当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增；

综上所述，的单调递增区间是和，单调递减区间是．

（Ⅱ）（1）当时，，函数的零点为；   

（2）当时，，

故当时，，二次函数对称轴，

∴在上单调递增，又，f(x)与x轴在有唯一交点；

当时，，二次函数对称轴，

∴在上单调递减，在上单调递增；∴，

 当，即时，函数与轴只有唯一交点，即唯一零点，

  当，即时，函数与轴有两个交点，即两个零点

 当，即时，f(a)<0，函数与轴有三个交点，即有三个零点

综上可得，当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点；

当时，函数有三个零点．

考点：本题主要考查了函数单调性和函数的零点的运用。