Question

（本小题12分）已知（）.

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）若，用单调性定义证明函数在区间上单调递减；

（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为

，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.

Answer

（1）奇函数.（2）函数在区间上单调递减.

（3）满足题目条件的实数存在，实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）根据对数函数的真数大于0建立不等式，解之即可求出函数的定义域，判定是否对称，然后根据函数奇偶性的定义进行判定即可；

（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，然后比较真数的大小，从而得到f（x1）与f（x2）的大小，最后根据单调性的定义进行判定即可；

（3）假设存在实数a满足题目条件，然后根据函数在区间[m，n]上单调性建立等式关系，然后转化成方程x2+（1-a）x+a=0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根，从而可求出a的取值范围．

【解析】
（1）由得：或 .

所以，函数的定义域为.

又

为奇函数.

（2）任取，且，则.

因为

所以，又因为，所以，

故,所以，函数在区间上单调递减.

（3）假设存在实数满足题目条件.

由题意得：，又，

又，，.

故，由（2）得：函数在区间上单减.所以，函数在区间上单调递减.

故，，所以，

所以，

是方程的两个不同的实根.

故，方程在区间上有两个不同的实根.

则，解得：.又，

所以，所以，满足题目条件的实数存在，实数的取值范围是.

考点：本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及单调性的判定和奇偶性与单调性的综合应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．