Question

（本题满分12分）已知棱长为的正方体中，M,N分别是棱CD,AD的中点。（1）求证：四边形是梯形；（2）求证：

Answer

见解析。

【解析】

试题分析：（1）结合三角形的中位线的性质得到MN=AC，以及MN∥A1C1得到证明。

（2）由（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，根据等角定理得到结论。

证明：（1）连接AC，在△ACD中，

∵M，N分别是棱CD，AD的中点，

∴MN是三角形的中位线，

∴MN∥AC，MN=AC。由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1。

∴MN∥A1C1，且MN= A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MN A1C1是梯形。

（2）由（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，

∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，

∴∠DNM=∠D1A1C1

考点：本题主要考查了空间中确定平面的方法和等角定理的运用。