Question

（本题满分14分）

已知数列满足

（Ⅰ）证明：数列为等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项以及前n项和；

（Ⅲ）如果对任意的正整数都有求的取值范围。

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ），（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：由得

所以数列为等比数列且首项为2，公比为2.                                     …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得= 所以

 利用分组求和可得：                                 …9分

（Ⅲ）由，得  （10分）

令

则 

当时,当时

综合，得：当时，),即时，,

所以为单调递增数列，故，即所求的取值范围是 .            …14分

考点：本小题主要考查等比数列的证明、构造新数列、用函数的观点考查数列的单调性、恒成立问题求参数的值以及数列中的基本计算问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和转化思想的应用.