Question

已知椭圆：（）的离心率，直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆，圆心为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当圆与轴相切的时候，求的值；

（Ⅲ）若为坐标原点，求面积的最大值。

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵椭圆的离心率

∴............................1分

解得............................2分

故椭圆的方程为.................3分

（Ⅱ）联立方程可得：得.........................5分

即的坐标分别为........................6分

∵圆的直径为，且与轴相切

∴，得（∵）............8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，

的面积......................9分

=1...................10分

当且仅当即时，等号成立.....................11分

故的面积的最大值为1..................12分

考点：椭圆的简单性质；圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用；基本不等式。