Question

（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点

(1) 证明//平面；

(2) 证明⊥平面；

(3) 求二面角——的大小。

Answer

（1）证明：见解析；（2）证明：见解析；（3）二面角——的大小为  

【解析】

试题分析：（1）连结，交于O，连结

  ∵底面是正方形，∴点O是的中点

  在中，是中位线，∴ // ， 得到证明。

（2）∵⊥底面且底面，

∴∵，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，

∴   推理得到平面

又且，所以⊥平面  （3）由（2）知，，

故是二面角——的平面角 

【解析】
（1）证明：连结，交于O，连结

  ∵底面是正方形，∴点O是的中点

  在中，是中位线，∴ //       …（1分）

  而平面EDB且平面，

  所以， // 平面                      …（3分）

（2）证明：∵⊥底面且底面，

∴

∵，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，

∴    ①                                           …（4分）

同样由⊥底面，得⊥

∵底面是正方形，有DC⊥，∴⊥平面       …（5分）

而平面，∴    ②

由①和②推得平面

而平面，∴                             …（7分）

又且，所以⊥平面            …（8分）

（3）【解析】
由（2）知，，

故是二面角——的平面角                       …（9分）

由（2）知，

设正方形ABCD的边长为则

， ，

在中，

在中，，                …（11分）

∴   所以，二面角——的大小为        …（12分）

（说明：也可用向量法）

考点：本题主要是考查线面平行和线面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的求解问题。