Question

（本小题满分12分）如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分别为棱DD₁、AB、BC的中点 ．

（1）求二面角B₁MNB的正切值；

（2）求证：PB⊥平面MNB₁；

（3）若正方体的棱长为1，画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离 ．

Answer

（1）【解析】
连结BD交MN于F，连结B1F.

∵平面DD1B1B⊥平面ABCD,交线为BD，AC⊥BD,

∴AC⊥平面DD1B1B.又∵AC//MN，

∴MN⊥平面DD1B1B.

∵B1F,BF平面DD1B1B，

∴B1F⊥MN,BF⊥MN.

∵B1F平面B1MN，

BF平面BMN，则∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角.       -----------------------2分

在Rt△B1FB中，设B1B=1，则FB=，

∴tan∠B1FB=.              -------------------------4分

（2）证明：过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA，连结BE.

又DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M.

又BE⊥B1M，∴B1M⊥平面PEB.

∴PB⊥MB1. 

由（1）中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB1.     -----------------8分

（3）【解析】
PB=，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：

    -------------12分

【解析】

试题分析：（1）要求二面角B1-MN-B的正切值，我们要先找出二面角的平面角，再构造三角形，解三角形求出其正切值．

（2）要证明PB⊥平面B1MN，我们要在平面内找到两条与PB垂直的相交直线，分析题意可知B1M，B1N满足要求，进而可以转化为证明线线垂直．

（3）利用侧面展开图来得到BP的长度的求解。

考点：本题主要是考查二面角的平面角的求解以及线面垂直的证明问题 。