Question

（本小题满分14分）如图椭圆的上顶点为A，左顶点为B, F为右焦点, 过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点. 作平行四边形OCED, E恰在椭圆上。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为, 求椭圆的方程.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：解∵焦点为F(c, 0), AB斜率为, 故CD方程为y=(x－c). 于椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2=0. ∵CD的中点为G(), 点E(c, －)在椭圆上,

∴将E(c, －)代入椭圆方程并整理得2c2=a2, ∴e =.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD的方程为y=(x－c),  b=c, a=c.

与椭圆联立消去y得2x2－2cx－c2=0.

∵平行四边形OCED的面积为S=c|yC－yD|=c

=c, ∴c=, a=2, b=. 故椭圆方程为

考点：离心率及直线与椭圆的位置关系