Question

已知在区间上是增函数，实数组成集合；设关于的方程的两个非零实根实数使得不等式使得对任意及恒成立，则的解集是（    ）

A.         B. 

C.                D.

Answer

A

【解析】

试题分析：∵f（x）在[-1，1]上是增函数，

∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，

即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①

设φ（x）=x2-ax-2，

方法一：①⇔φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1，

∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0

∴A={a|-1≤a≤1}．

方法二：

①⇔，φ(-1)=1+a-2≤0或，φ(1)=1-a-2≤0⇔0≤a≤1或-1≤a≤0

⇔-1≤a≤1．

∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0

∴A={a|-1≤a≤1}．

由=，得x2-ax-2=0，∵△=a2+8＞0，∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=-2，从而|x1-x2|===∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3．

要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，

即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②

设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），

方法一：

②⇔g（-1）=m2-m-2≥0，g（1）=m2+m-2≥0，

⇔m≥2或m≤-2．

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．,

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m≠0时，

②⇔m＞0，g（-1）=m2-m-2≥0或m＜0，g（1）=m2+m-2≥0

⇔m≥2或m≤-2．

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．,选A.

考点：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。