Question

（本小题满分12分）

(1)已知函数f(x)＝2^x－x²，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？

(2)若方程ax²－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，求实数a的取值范围．

Answer

(1) 方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．(2) (2，＋∞)．

【解析】

试题分析：

（1）因为第一问中，f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，

f(0)＝20－02＝1>0，结合零点存在性定理可知，结论。

（2）方程ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则只要满足端点的函数值一号即可。

(1) 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，

f(0)＝20－02＝1>0，

而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．

(2)∵方程ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，

∴f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2.

故a的取值范围为(2，＋∞)．

考点：本题主要是考查函数零点的运用。