Question

（本题满分14分）设为非负实数，函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）讨论函数的零点个数，并求出零点．

Answer

（Ⅰ）的单调递增区间是和，单调递减区间是

（Ⅱ）当时，函数的零点为；

当时，函数有一个零点，且零点为；

当时，有两个零点和；

当时，函数有三个零点和.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，           ……2分

①当时，，∴在上单调递增；

② 当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增；

综上所述，的单调递增区间是和，单调递减区间是.      ……6分

（Ⅱ）（1）当时，，函数的零点为；

（2）当时，，

故当时，，二次函数对称轴，

∴在上单调递增，；

当时，，二次函数对称轴，

∴在上单调递减，在上单调递增；

∴的极大值为，

 当，即时，函数与轴只有唯一交点，即唯一零点，

由解之得

函数的零点为或（舍去）；

  当，即时，函数与轴有两个交点，即两个零点，分别为和；

  当，即时，函数与轴有三个交点，即有三个零点，

由解得，，

∴函数的零点为和.

综上可得，当时，函数的零点为；

当时，函数有一个零点，且零点为；

当时，有两个零点和；

当时，函数有三个零点和.                     ……14分

考点：本小题主要考查函数单调性的判断和单调区间的求解，含参数的二次函数单调性的判断以及函数零点个数的判断，考查学生分类讨论思想的应用.