Question

（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．

（I）当时，求证平面

（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（I）见解析（II）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在平行四边形中，

由，，，

易知，                                                        ……2分

又平面，所以平面,∴，

在直角三角形中，易得，

在直角三角形中，，，又，∴，

可得

.

∴，                                                        ……5分

又∵，∴平面．                               ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，

可知为二面角的平面角，

，此时为的中点.                                     ……8分

过作,连结,则平面平面,

作,则平面,连结,

可得为直线与平面所成的角．

因为,,

所以.                                         ……10分

在中，，

直线与平面所成角的正弦值为.                          ……12分

解法二：依题意易知，平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，

（Ⅰ）由有，                                 ……3分

易得，从而平面．                             ……6分

 (Ⅱ)由平面，二面角的平面角.

又，则 为的中点，

即 ,                                                  ……8分

设平面的法向量为

则，令,得，                  ……10分

从而，

直线与平面所成角的正弦值为.                         ……12分

考点：本小题主要考查线面垂直的证明和线面角的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.