Question

（本题满分12分）

在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为。

（1）求曲线的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于和。

①以线段为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的值，若不能说明理由；

②求四边形面积的取值范围。

Answer

（1）（2）①②

【解析】

试题分析：（1）设，

由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为的椭圆．

它的短半轴，

故曲线C的方程为．                                      ……4分

（2）①设直线,，

其坐标满足

消去并整理得，

故．                              ……6分

以线段为直径的圆过能否过坐标原点，则，即．

而，

于是，

化简得，所以．                              ……8分

②由①，，

将上式中的换为得，

由于,

故四边形的面积为，        ……10分

令，则，

而，故，故，

当直线或的斜率有一个不存在时，另一个斜率为，

不难验证此时四边形的面积为，

故四边形面积的取值范围是．                              ……12分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系、根与系数的关系、弦长公式、二次函数求最值和向量垂直的坐标运算，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力.