Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.

（1）判断函数是否是有界函数，请写出详细判断过程；

（2）试证明：设，若在上分别以为上界，

求证：函数在上以为上界；

（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，

求实数的取值范围.

Answer

（1）是有界函数（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（1），当时，

则，由有界函数定义可知是有界函数

(2)由题意知对任意，存在常数，都有成立

即，同理（常数）

则，即

在上以为上界

 (3)由题意知，在上恒成立。

，    

∴   在上恒成立

∴    

设，，，由得 t≥1，

设，，

所以在上递减，在上递增，（单调性不证，不扣分）

在上的最大值为，

 在上的最小值为。

所以实数的取值范围为

考点：二次函数求最值及不等式恒成立问题