Question

（12分）已知椭圆C：以双曲线的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．

①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；

②若直线MA，MB与直线x＝4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．

Answer

（1）（2）①证明见解析②

【解析】

试题分析：(1)易知双曲线的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为，……2分

则在椭圆C中a＝2，e＝，

故在椭圆C中c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为                ……4分

(2)①设M(x0，y0)(x0≠±2)，由题易知A(－2,0)，B(2,0)，

则kMA＝，kMB＝，故kMA·kMB＝＝，         ……6分

点M在椭圆C上，则，即，

故kMA·kMB＝，即直线MA，MB的斜率之积为定值。                       ……8分

②解法一：设P(4，y1)，Q(4，y2)，则kMA＝kPA＝，kMB＝kBQ＝，……9分

由①得，即y1y2＝－3，当y1>0，y2<0时，|PQ|＝|y1－y2|≥2 ＝，当且仅当y1＝，y2＝－时等号成立．……11分

同理，当y1<0，y2>0时，当且仅当，y2＝时，|PQ|有最小值. ……12分

解法二：设直线MA的斜率为k，则直线MA的方程为y＝k(x＋2)，从而P(4,6k) ……9分

由①知直线MB的斜率为，则直线MB的方程为y＝(x－2)，

故得，故，当且仅当时等号成立，

即|PQ|有最小值.                                                   ……12分

考点：本小题主要考查椭圆与双曲线中基本量的关系、椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系、两点间的位置关系和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题、转化问题的能力和运算求解能力.