Question

（2006年安徽卷）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明 其中和均为常数；

（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值.

Answer

（Ⅰ）见解析。（Ⅱ）见解析。

（Ⅲ）当时，函数在内取得极小值，极小值为

【解析】

试题分析：分析：（Ⅰ）抽象函数通过赋值法求解.

（Ⅱ）通过赋值，构做的关系.

（Ⅲ）利用（Ⅱ）中关系，表示出，利用导数研究函数单调性与极值性.

证明（Ⅰ）令，则，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，则。

假设时，，则，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立.

（Ⅲ）当时，，

令，得；

当时，，∴是单调递减函数；

当时，，∴是单调递增函数；

所以当时，函数在内取得极小值，极小值为

考点：本题主要考查分段函数、抽象函数及导数在研究单调性方面的应用。