Question

已知双曲线，是右顶点，是右焦点，点在轴的正半轴上，且满足，，成等比数列，过作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为．

（1）求证：；

（2）若直线与双曲线的左、右两支分别相交于点，求双曲线的离心率的取值范围．

Answer

（1）证明：见解析。（2）．

【解析】

试题分析：（1）证明：直线为，     ①

在第一、三象限的渐近线，    ②

解①、②得垂足．

因为，，成等比数列，

所以可得点．

所以，，．

所以，．

因此；

（2）【解析】
由得，

因为直线与双曲线的左、右两支分别相交于点，

所以，

所以，即，，，，，

因此．

考点：本题主要考查直线与双曲线位置关系，双曲线的几何性质，等差数列基础知识，平面向量的数量积。