Question

（1）求函数f（x）=x³－x²－40x+80的单调区间；

（2）若函数y=x³+bx²+cx在区间（－∞，0）及[2，+∞]是增函数，而在（0，2）是减函数，求此函数在[－1，4]上的值域．

Answer

（1）单调增区间；单调减区间

（2）b=－3,c=0；此函数在[－1，4]上的值域为[－4，16]．

【解析】

试题分析：（1），

令 f '(x)=0 ，得 ，

当 x<  时，f '(x)>0 ；当 4 时，f '(x)>0 ，

所以函数在（-∞， ] 上为增函数，在 [ ，4] 上为减函数，在 [4，+∞）上为增函数。

（2）因为y=x³+bx²+cx，在（-∞，0），[2,+∞)递增，（0,2）递减，

所以0和2分别是极大值点和极小值点，是方程y'=3x²+2bx+c=0的根。

c=0,3·2²+4b=0，b=-3，即y=x³-3x²

由f（0）=0，f（2）=－4，f（-1）=－1－3=-4，f（4）=16

∴y∈[-4,16]

考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值。