Question

设函数 （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值

（1）求a、b、c、d的值；

（2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；

（3）若时，求证：．

Answer

（1）；（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立． 证明见解析；

（3）证明见解析。

【解析】

试题分析：（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，

，即恒成立

 ，

时，取极小值，解得 

   （2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立．

假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别为，

且…………（*）

、，

此与（*）相矛盾，故假设不成立．

证明（3），

或，

上是减函数，且 

∴在[－1，1]上，时，

考点：本题主要考查导数的几何意义，研究函数的单调性，求函数的极值，不等式证明。