Question

动圆经过定点，且与直线相切。

（1）求圆心的轨迹方程；

（2）直线过定点与曲线交于、两点：

①若，求直线的方程；

②若点始终在以为直径的圆内，求的取值范围。

Answer

（1）；（2），。

【解析】

试题分析：（1）由题意：到点距离与到直线距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为

（2）①设直线：，代入抛物线方程得：

设 则

由得，

代入解得： 即所求直线方程为。

②，由题意：

即，，化简得：

对于任意的恒成立。

满足，则且，解得。综上知，的取值范围为。

考点：轨迹方程的求法；点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；直线与抛物线的综合应用。