Question

定义数列，（例如时，）满足，且当（）时，.令．

（1）写出数列的所有可能的情况；（5分）

（2）设，求（用的代数式来表示）；（5分）

（3）求的最大值.（6分）

Answer

（1）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：

（1）；     （2）；

（3）；    （4）；

（5）；      （6）；

2个起评，对2个1分，3个2分，4个3分，5个4分，6个5分

（2）

．

（3）的最大值为．

【解析】

试题分析：（1）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：

（1）；     （2）；

（3）；    （4）；

（5）；      （6）；

2个起评，对2个1分，3个2分，4个3分，5个4分，6个5分

（2），由，

则或（，），            6分

，

，

…

，

所以．                       7分

因为，所以，且为奇数，        8分

是由个1和个构成的数列．            9分

所以

．                 10分

（3）

则当的前项取，后项取时最大，  12分

此时14分

证明如下：

假设的前项中恰有项取，则

的后项中恰有项取，其中，，，．

所以     ．             

．    16分

所以的最大值为．                

考点：本题主要考查数列的概念、通项公式，叠加法，应用不等式求最值。