Question

（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知数列{a_n}满足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列{a_n}的前项和．

(1) 若，求的值；

(2) 求数列{a_n}的通项公式；

(3) 当时，数列{a_n}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列。

【解析】

试题分析：(1) 令，得到，令，得到。…………2分

由，计算得．……………………………………………………4分

(2) 由题意，可得：

，所以有

，又，……………………5分

得到：，故数列从第二项起是等比数列。……………7分

又因为，所以n≥2时，……………………………8分

所以数列{an}的通项…………………………………10分

(3) 因为  所以……………………………………11分

假设数列{an}中存在三项am、ak、ap成等差数列，

①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{an}单调递增，所以2ak=am+ap

即：2´()´4k–2 = ´4m–2 + ´4p–2，化简得：2´4k - p= 4m–p+1

即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，

故有：m=p=k，和题设矛盾………………………………………………………………14分

②假设存在成等差数列的三项中包含a1时，

不妨设m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap = a1+ak ，

2´()´4p–2 = – + ()´4k–2，所以2´4p–2= –2+4k–2，即22p–4 = 22k–5 – 1

因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立………………………………………16分

因此，数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列……………………………18分

考点：等差数列的性质；数列通项公式的求法；数列的递推式。