Question

（本小题满分18分）已知函数，

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；

(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）在处取得极小值1；（Ⅱ）时，在上单调递减，在上单调递增；  时，函数在上单调递增。

(Ⅲ) 或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）的定义域为，

当时，，

1

—

0

+

极小

所以在处取得极小值1.

（Ⅱ），

①当时，即时，在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增；  

②当，即时，在上，

所以函数在上单调递增.       

（III）在上存在一点，使得成立，即 在上存在一点，使得，

即函数在上的最小值小于零.

由（Ⅱ）可知

①当，即时，在上单调递减，

所以的最小值为，由可得，

因为，所以；

②当，即时， 在上单调递增，

所以的最小值为，由可得；

③当，即时， 可得的最小值为，

因为，所以

故   

此时，不成立.   

综上讨论可得所求的取值范围是：或.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。