Question

（本小题满分14分）

已知函数

(Ⅰ)求函数的极值点；

(Ⅱ)若直线过点且与曲线相切，求直线的方程；

(Ⅲ)设函数求函数在上的最小值.( )

Answer

(Ⅰ) 是函数的极小值点，极大值点不存在.  (Ⅱ)  

(Ⅲ) 当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；

当时，的最小值为 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）＞0                 ………1分

而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜

所以在上单调递减，在上单调递增 .        …………3分

所以是函数的极小值点，极大值点不存在.           …………………4分

（Ⅱ）设切点坐标为，则切线的斜率为

所以切线的方程为                 …………5分

又切线过点，所以有

解得所以直线的方程为                      ………6分

（Ⅲ），则 ＜0＜00＜＜＞0＞所以在上单调递减，在上单调递增.                                                        ………………8分

当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为                                                          ……9分

当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.

在上的最小值为                      ………11分

当即时，在上单调递减，

所以在上的最小值为                        ……12分

综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；

当时，的最小值为                             ………14分

考点：函数的极值；导数的几何意义；曲线切线方程的求法；利用导数研究函数的单调性和最值。