Question

（本小题满分12分）

如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点不重合，，．沿将翻折到的位置，使平面⊥平面．

(1)求证：⊥平面；

(2)当取得最小值时，请解答以下问题：

(i)求四棱锥的体积；

(ii)若点满足= ()，试探究：直线与平面所成角的大小是否一定大于?并说明理由．

Answer

（1）∵ 菱形的对角线互相垂直，∴，平面,∴ ，∵，∴平面（2）(i)3 (ii) 一定大于，用向量可以求出

【解析】

试题分析：（1）证明：∵ 菱形的对角线互相垂直，

∴，∴，                                               ……1分

∵ ，∴．                          

∵ 平面⊥平面，平面平面，且平面，

∴ 平面,

∵ 平面，∴ .                                    ……3分

∵ ，∴ 平面.                                  ……4分

（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系.                    ……5分

（ⅰ）设 因为，所以为等边三角形，

故，.又设，则，.

所以，，，

故 ，                                      ……6分

所以，

当时，. 此时，                      ……7分

由（1）知，平面

所以.             ……8分

（ⅱ）设点的坐标为，

由（i）知，，则，，，.

所以，，                            ……9分

∵，

∴．

∴，

∴．                                               ……10分

设平面的法向量为，则．

∵，，∴ ，

取，解得：， 所以.                            ……11分

设直线与平面所成的角，

∴

．                                    ……12分

又∵∴．                                              ……13分

∵，∴．

因此直线与平面所成的角大于，即结论成立．                 ……14分

考点：本小题主要考查线面垂直的证明和用空间向量解决立体几何问题，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.